Existen unos pocos números que están presentes siempre a nuestro alrededor, sin dudas el más famoso es el número Pi. Este número es la razón entre una circunferencia cualquiera y su diámetro. Otro menos conocido pero igual o más recurrente es el número phi. Phi describe una proporción conocida desde tiempos remotos la cual en el siglo XIX se nombró honoríficamente como número áureo, segmentó de oro o razón de oro. Un libro publicado en Italia al comienzo del siglo XVI fue más lejos llamándolo divina proporción.

La primera definición de lo que más tarde se conocería como el número áureo data del año 300 a.c. Fue Euclides, el fundador de la geometría como un sistema deductivo formal, quien definió al número áureo por primera vez.

Euclides definió una proporción derivada de una simple división de un segmento entre lo que es conocido como extrema y media razón. En palabras de Euclides:

euclides dijo:"Una línea recta se dice que ha sido cortada en extrema y media razón cuando, como toda la línea es el segmento mayor, por lo que es el mayor a la menor."

En otras palabras si miramos el segmento AB debajo, está a la vista que AB es mayor que AC y de la misma forma AC es mayor que CB.

__________________________________________________ __________________________________________
A_________________________________________________ __C_________________________B

Si la razón AB, AC es igual a la razón AC, CB entonces el segmento está dividido en extrema y media razón.

¿Quién hubiera pensado que está simple división estaría reflejada desde la botánica hasta las galaxias que contienen millones de estrellas, pasando por las matemáticas y el arte?

Albert Einstein (1879-1955) dijo:

einstein dijo:"Lo más bello que podemos experimentar es lo misterioso. Es fundamental la emoción que se sitúa en la cuna del arte y ciencia verdaderas. Él que no sabe y no puede preguntarse ya no siento asombro, es tan bueno como malo, una vela apagada."

Como veremos el valor exacto del número áureo no tiene fin. Este tipo de números ha asombrado a la humanidad desde los comienzos.

A través del tiempola proporción entre ancho y alto de 1.61803398874989484820 ha sido considerada de las más agradables a la vista. Esta fue nombrada por los griegos como la razón de oro. En el mundo de las matemáticas se le dio el nombre de "phi" al valor de esta razón. Phi por el escultor griego Phidias que en muchas de sus obras como las bandas esculpidas sobre el Partenón, aparece repetidamente la razón de oro.

¿Qué es el número áureo?

El número áureo, (también llamado, número de oro, número plateado, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) se representa con la letra griega phi, ? (minúscula) o ? (mayúscula). Es la vigésima primera letra del alfabeto griego y en el sistema de numeración griego tiene un valor de 500.

El número áureo surge de la división de un segmento cualquier de modo que la razón entre la parte menor y la mayor sea igual a la razón entre la parte mayor y la totalidad del segmento:

El Número Áureo a través de la historia

Grecia

En la escuela de Pitágoras (570- 480 a.c) se dice "todo está arreglado con el numero". Pitágoras y sus discípulos descubrieron los segmentos que no podían medir apoyándose sin duda en la proporciona áurea.

Phidias (490-430 a.c) utilizó la proporción áurea en el Partenón.

Euclides (325-265 a.c) define la proporción correspondiente al número áureo en los "elementos de geometría". Aunque Euclides no relaciona el numero Phi con nada estético o divino.

Vitrubio (I siglo a.c) arquitecto e ingeniero romano autor de "De Architectura" aborda la importancia de las proporciones en la arquitectura pero sin referencias al número Phi sino al estudio de las proporciones humanas.

Antiguo Egipto

Se ha hallado al número áureo en gran cantidad de obras del antiguo Egipto, así como en la Gran Pirámide de Keops, la relación entre altura y la mitad de un lado de la base es muy cercano al ?, aunque no se sabe con exactitud si este número era conocido por los antiguos egipcios, es muy probable que haya sido descubierto a causa de su complejo sistema de medidas basado en partes del cuerpo.

Edad Media

Fibonacci (1175-1240) recoge los conocimientos de Euclides, su sucesión tiene relación directa con el número phi.

Renacimiento

Luca di Borgo (nacido en 1445) también llamado Luca Pacioli utiliza el número Phi en su libro "de divina proportione" ilustrado por Leonardo de Vinci. Aunque este tratado es puramente geométrico. Luca Pacioli fue fraile Franciscano y profesor de matemáticas.

Leonardo de Vinci reflexiona sobre las proporciones humanas perfectas basada en el número Phi que él denomina "sección aurea". Menciona la proporción divina en su tratado sobre pintura.

Johannes Kepler (1571-1630) astrónomo alemán considera el número phi uno de los grandes tesoros de la geometría.

Siglo XX

Martin Ohm matemático alemán escribió sobre la sección áurea en 1835 en su libro "Die reine elementar-mathematik", también fue el primero en utilizar la denominación Phi en honor a Fidias.

Adolf zeising (1810-1876) doctor en filosofía y profesor, habla de la sección áurea pero no del punto de vista geométrico o matemático sino sobre la estética y la arquitectura. Busca y encuentra esta proporción en los monumentos clásicos. Es el que introduce el lado mítico y místico del número Phi.

Matila Ghyka rumano que escribe sobre el número Phi y lo encuentra en multitud de monumentos pero también en la naturaleza.

Le Corbusier, arquitecto Francés inventa el "modulator" que es un sistema de proporciones arquitecturales y rapidez de construcción.

Salvador Dalí utiliza el rectángulo áureo en algunos de sus cuadros.

Pitágoras y el Número Áureo

Pitágoras (582-500 a.c) fue filósofo y escritor griego nacido en la isla de Samos. Fue ilustrado con las enseñanzas de algunos de los primeros filósofos como Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Hacia 530 a.c se instaló en Cartona, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, el Pitagorismo. Pitágoras no dejó documentos escritos por lo que su filosofía se conoce solo a través de sus discípulos.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de números pares e impares, primos y cuadrados; todos estos esenciales en la teoría de los números. A través de sus estudios desarrollaron una base científica para las matemáticas.

La estrella pentagonal era, según la tradición el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba ordenado según los números.

La relación entre la diagonal del pentágono y su lado es aproximadamente el número de oro:

Fibonacci y el Número Áureo

En 1902, un matemático italiano, Leonardo Pissano (también conocido como Fibonacci, que significa hijo de Bonacci) se hizo la pregunta ¿Cuántos pares de conejos pueden ser producidos a partir de un único par en un año? Este experimento mental dicta que los conejos hembra siempre dan a luz a pares, y cada par se compone de un macho y una hembra. Para este experimento mental se comienza con dos conejos recién nacidos, como los conejos no se pueden reproducir hasta el mes de nacidos, por el primer mes se mantendrá el primer par. Al final del segundo mes la hembra da a luz, dejando otro par de conejos. Cuando haya terminado el tercer mes la pareja original de conejos produce otro par de recién nacidos, mientras que sus hijos anteriores llegan a la edad adulta. Esto deja a tres pares de conejo, dos de los cuales dará a luz a dos pares más el mes siguiente.

El Número Áureo en la naturaleza

Ni los números de la Sucesión de Fibonacci ni el número de áureo se encuentran en todos lados en la naturaleza, cada animal y planta tiene su propia secuencia de números. Y no solo porque una sucesión pueda ser aplicada a un objeto quiere decir que exista una relación entre esta y la realidad.

Pero la Sucesión de Fibonacci (y como consecuencia el número de áureo) aparece suficientes veces en la naturaleza como para probar que forma parte de un patrón de naturales. Es posible hacerlo estudiando la forma en que varias plantas crecen, algunos ejemplos son Cabezas de semillas, piñas, frutas y hortalizas. Mira a las semillas en el centro de un girasol y te darás cuenta de lo que parece ser patrones en espiral curva. Sorprendentemente, si se cuenta estas espirales, el total será un número de Fibonacci. También se puede descifrar patrones en espiral en piñas y coliflor, que también reflejan la secuencia de Fibonacci de esta manera.


En una galaxia espiral, como la Vía Láctea, se observa esta forma.

La proporción áurea se expresa en la espiral de las conchas. En la ilustración a la derecha, las áreas de crecimiento de la concha se asignan por cuadrados. Si los dos cuadrados más pequeños tienen una anchura y una altura de 1, entonces el cuadrado a su izquierda tiene medidas de 2. Las demás cajas miden 3, 5, 8 y 13.

En las ramas algunas plantas expresan la secuencia de Fibonacci en sus puntos de crecimiento, los lugares donde se forman o separan las ramas de los árboles. Un tronco que crece hasta que se produce una rama, resultando en dos puntos de crecimiento. El tronco principal, que produce otra rama, dando lugar a tres puntos de crecimiento. Después, el tronco y la primera rama producirán dos puntos de crecimiento, alcanzando un total de cinco. Este patrón continúa, siguiendo los números de Fibonacci.

Otros lugares donde aparece la razón áurea:

_____La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
_____La relación entre la distancia entre las espiras de cualquier caracol.
_____La relación entre los lados de un pentágrama.
_____La disposición de los pétalos de las flores (Ley de Ludwig).
_____La distancia entre las espirales de una piña.
_____Las relaciones entre muchas partes corporales de los humanos y los animales:
__________La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
__________La distancia del hombro a los dedos y la distancia del ocodo a los dedos.
__________La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

El Número Áureo en el arte

El número de oro, encontrado en la naturaleza, es encontrado por la vista humana como agradable.

Pocos pintores famosos de la historia también han sido grandes matemáticos.

Tres de los más conocidos pintores del Renacimiento, los italianos Piero Della Francesca, Leonardo da Vinci y el alemán Albrecht Durero, hicieron interesantes aportaciones a las matemáticas.

No es sorprendente que las investigaciones matemáticas de los tres pintores se relacionen con el número áureo.

El más activo matemático de este ilustre grupo fue Piero della Francesca, quien nació en 1412 en Borgo San Sepolcro (actualmente Sansepolcro).

El historiador Giorgio Vasari (1511-1574), describe a en su obra "Vidas de los pintores más eminentes, escultores y arquitectos" a Piero demostrado una gran habilidad matemática desde la primera juventud.


Grabado de "De divina proportione" ilustra la proporción áurea aplicada a la cara humana.

Muchas obras del italiano polímata (fue anatomista, arquitecto, artista, botánico, científico, escritor, escultor, filósofo, ingeniero, inventor, músico, poeta y urbanista) Leonardo da Vinci, fueron realizadas con un intencionado estilo para asegurarse de que la razón de oro apareciera, dando belleza a la obra. Dada la afición de Leonardo por la "geometría recreativa", esto parece una suposición razonable.

La proporción más armoniosa del cuerpo, fue estudiada por griegos y romanos. Más tarde Leonardo da Vinci la plasmó en el Hombre de Viturvio.

El matemático y franciscano italiano Luca Pacioli ilustra su libro "La divina Proporción" con esta imagen y describe cuales son las proporciones en un cuerpo humano perfecto.

Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

El español Salvador Dalí en su obra Leda atómica, completada en 1949, sintetiza siglos de matemáticas. La obra se basa en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente. En el boceto de 1947 se observa la rigurosidad del análisis geométrico empleado.